24-25-1-数学分析（上）-期末（未来学院）

六

已知 f(x)=12x2+1f(x)=\frac1{2x^2+1}.

  1. 求 f(x)f(x) 与 x=tx=t, x=2tx=2t, xx 轴围成的面积 s(t)s(t), 并求其极值.
  2. 在(1)的条件下, 求 s(t)s(t) 绕 yy 轴旋转的体积 VV.

七

求 y′′+4y=sin⁡xy''+4y=\sin x 的通解.

八

已知 f(x)f(x) 在定义域 (a,b)(a,b) 上连续且不为常数, f(a)=min⁡a≤t≤bf(t)=f(b)f(a)=\min_{a\le t\le b}f(t)=f(b).

证明: ∃ε∈[a,b)\exists\varepsilon\in[a,b) 使得 ∫aεf(x) dx=(ε−a)f(ε)\int_a^\varepsilon f(x)\,\mathrm{d}x=(\varepsilon-a)f(\varepsilon).

附加题

已知 f(n)(x)=cos⁡x+cos⁡2x+…+cos⁡nxf_{(n)}(x)=\cos x+\cos{}^2{x}+\ldots+\cos{}^nx, nn 为正整数.

  1. 证明在 x∈[0,π3]x\in\left[0,\frac\pi3\right] 中, f(n)(x)=1f_{(n)}(x)=1 有唯一解.
  2. 证明: xnx_n 是 f(n)(x)=1f_{(n)}(x)=1 的解, xn∈[0,π3]x_n\in\left[0,\frac\pi3\right]. 求证 n→+∞n\rightarrow+\infty 时, xn→π3x_n\rightarrow\frac\pi3.