24-25-1-数学分析（上）-期末

一 填空题 (本大题共10小题, 每小题3分, 共30分)

  1. lim⁡x→0(1x−1ln⁡(1+x))=\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac1x-\frac1{\ln(1+x)}\right)= .

  2. 已知 f(x)f(x) 在 x0x_0 点可导, 且当 n→∞n\rightarrow\infty 时, f(x0−1n)−f(x0)+2n=o(1n)f(x_0-\frac1n)-f(x_0)+\frac2n=o\left(\frac1n\right), 则 f′(x0)=f'(x_0)= .

  3. 函数 y=y(x)y=y(x) 是由参数方程 {x=sin⁡t2,y=tsin⁡t2−∫1t212usin⁡u du\begin{cases}x=\sin t^2,\\y=t\sin t^2-\int_1^{t^2}\frac1{2\sqrt u}\sin u\,\mathrm du\end{cases} 确定, 则 d2ydx2∣t=π=\left.\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}\right|_{t=\sqrt\pi}= .

  4. 函数 f(x)=xe−x2f(x)=x\mathrm e^{-x^2}, 则 f(99)(0)=f^{(99)}(0)= .

答案 / 解析

对 e−x2\mathrm e^{-x^2} 展开成幂级数。

  1. 当 x>0x>0 时, f(ln⁡x)=1xf(\ln x)=\frac1x, 则 ∫01xf′(x) dx=\int_0^1xf'(x)\,\mathrm dx= .

  2. lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+22+⋯+nn2+n2)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac1{n^2+1}+\frac2{n^2+2^2}+\cdots+\frac n{n^2+n^2}\right)= .

答案 / 解析

lim⁡n→∞∑k=1nkn2+k2=lim⁡n→∞1n∑k=1nkn(kn)2+1=∫01x dxx2+1\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n\frac k{n^2+k^2}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\frac{\frac kn}{\left(\frac kn\right)^2+1}=\int_0^1\frac{x\,\mathrm dx}{x^2+1}

  1. 曲线 y=xy=\sqrt x 与直线 y=xy=x 所围的有限区域绕 yy 旋转一周, 所得旋转体的体积为 .

  2. ∫−π4π4(1+x3cos⁡2x1+cos⁡2x) dx=\int_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4}\left(\frac{1+x^3\cos^2x}{1+\cos2x}\right)\,\mathrm dx= .

  3. 反常积分 ∫02x2−x dx\int_0^2\sqrt\frac x{2-x}\,\mathrm dx 的敛散性为 (填收敛或发散).

  4. 方程 dydx=1(x+y)2\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac1{(x+y)^2} 的通解为 .

答案 / 解析

令 t=x+yt=x+y

二 (10分)

讨论函数 f(x)={x1−e1x,x≠00,x=0f(x)=\begin{cases}\frac x{1-\mathrm e^{\frac1x}},&x\ne0\\0,&x=0\end{cases} 在 x=0x=0 处的连续性和可导性.

三 (每小题5分, 共10分)

1.

设 f(x)f(x) 连续, 且 f(0)=0f(0)=0, f(π)=2f(\pi)=2, 计算 ∫0π[f(x)+f′′(x)]sin⁡x dx\int_0^\pi[f(x)+f''(x)]\sin x\,\mathrm dx.

2.

f(x)={11+x,x≥0,1ex+e−x,x<0f(x)=\begin{cases}\frac1{1+x},x\ge0,\\\frac1{\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}},x<0\end{cases}, 求 ∫−∞2f(x−1) dx\int_{-\infty}^2f(x-1)\,\mathrm dx.

四 (12分)

求函数 y=(x+2)e1xy=(x+2)\mathrm e^{\frac1x} 的极值和渐近线.

五 (10分)

已知函数 f(x)f(x) 在 [0,2][0,2] 上二阶可导, f(0)=f(2)=0f(0)=f(2)=0, 且曲线 y=f(x)y=f(x) 与抛物线 y=x2−2xy=x^2-2x 在 (0,2)(0,2) 内有一个交点. 证明: 存在 ξ∈(0,2)\xi\in(0,2), 使得 f′′(ξ)=2f''(\xi)=2.

六 (10分)

设有连接点 O(0,0)O(0,0) 和 A(1,1)A(1,1) 的一段连续的曲线弧 OA⌢\overset{\frown}{OA}, 对 OA⌢\overset{\frown}{OA} 上任一点 P(x,y)P(x,y), 曲线弧 OP⌢\overset{\frown}{OP} 在直线段 OP‾\overline{OP} 上方, 且曲线弧 OP⌢\overset{\frown}{OP} 与直线段 OP‾\overline{OP} 所围图形的面积为 x2x^2, 求曲线弧 OA⌢\overset{\frown}{OA} 的方程.

七 (12 分)

求微分方程 y′′−y′=x+sin⁡xy''-y'=x+\sin x 的通解.

八 (6 分)

设函数 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上二阶可导, 且 f′′(x)>0f''(x)>0, 证明:

f(a+b2)≤1b−a∫abf(x) dxf\left(\frac{a+b}2\right)\le\frac1{b-a}\int_a^bf(x)\,\mathrm dx