25-26-2-概率论与数理统计-期末（计算机学院）

一、选择题

  1. 袋中有 5 个红球和 5 个黑球，有放回地抽样 5 次。求“抽到红球和黑球的次数均至少为 2”的概率。
  1. （具体数据待确认） 设事件 A,B,CA,B,C 满足 P(A−C)=0.4, P(A)=0.7,P(AB)=0.4, A⊃C, B⊃CP(A-C)=0.4,\ P(A)=0.7, P(AB)=0.4,\ A\supset C,\ B\supset C。求 P(AB−C)P(AB-C)。
  1. 设随机变量 X∼π(5)X\sim \pi(5)，Y∼B(16,12)Y\sim B\left(16,\frac12\right)，且 X,YX,Y 相互独立。若 D(2X−Y+1)=CD(2X-Y+1)=C，求 CC。
  1. 设二维随机变量 (X,Y)(X,Y) 服从二维正态分布 N(μ1,μ2;σ12,σ22;ρ)N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)。若 XX 与 YY 相互独立，则 ρ=\rho=( )。
  1. 设连续型随机变量 XX 的概率密度 f(x)f(x) 满足 f(2+x)=f(2−x)f(2+x)=f(2-x)，且 ∫13f(x) dx=0.6\int_1^3 f(x)\,\mathrm dx=0.6。求 P{X<1}P\{X<1\}。
  1. 设随机变量 X,YX,Y 独立同分布，分布函数分别为 FX(x)F_X(x) 与 FY(x)F_Y(x)。求随机变量 min⁡{X,Y}\min\{X,Y\} 的分布函数 F(x)F(x)。
  1. 设科学实验中每个测量值都按四舍五入保留 kk 位小数。若第 ii 次测量的精确值为 xix_i，四舍五入后的记录值为 XiX_i，则第 ii 次测量产生的舍入误差为 εi=Xi−xi\varepsilon_i=X_i-x_i，并假设
ε1,ε2,…,εn∼i.i.d.U(−12⋅10−k,12⋅10−k).\varepsilon_1,\varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_n \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} U\left(-\frac12\cdot 10^{-k},\frac12\cdot 10^{-k}\right).

利用中心极限定理，近似求总舍入误差 Sn=∑i=1nεiS_n=\sum_{i=1}^n\varepsilon_i 所服从的分布。

  1. 设 X1,X2,…,X5X_1,X_2,\ldots,X_5 是来自同一总体的简单随机样本，且 E(X1)=α, D(X1)=βE(X_1)=\alpha,\ D(X_1)=\beta。求 D(X‾)D(\overline X)。
  1. 设 X1,X2,…,XnX_1,X_2,\ldots,X_n 为来自正态总体 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2) 的简单随机样本，记
X‾=1n∑i=1nXi,S2=1n−1∑i=1n(Xi−X‾)2,S=S2.\overline X=\frac1n\sum_{i=1}^n X_i,\quad S^2=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2,\quad S=\sqrt{S^2}.

判断下列说法中正确的是哪一项。

  1. 为测评手机的某项指标，取 nn 个样本。设
X1,…,Xn∼N(μ1,σ2),Y1,…,Yn∼N(μ2,σ2),X_1,\ldots,X_n\sim N(\mu_1,\sigma^2),\quad Y_1,\ldots,Y_n\sim N(\mu_2,\sigma^2),

两样本相互独立，且总体方差相同。由样本得到 X‾,Y‾\overline X,\overline Y，两个样本方差均为 S2S^2。求 μ1−μ2\mu_1-\mu_2 置信水平为 0.950.95 的置信区间。

二、计算题

设随机变量 XX 的概率密度为

f(x)={c(1−x10),0<x<10,0,其他.f(x)= \begin{cases} \displaystyle c\left(1-\frac{x}{10}\right),&0<x<10,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}
  1. 求常数 cc；
  2. 求 P{X>5}P\{X>5\}；
  3. 求 E(X)E(X) 与 D(X)D(X)。

三、计算题

设 X∼U(0,1)X\sim U(0,1)，求随机变量 Y=eXY=e^X 的概率密度。

四、计算题

设随机变量 XX 与 YY 的分布律分别为

X∼[−101131313],Y∼[−111212],X\sim \begin{bmatrix} -1&0&1\\ \frac13&\frac13&\frac13 \end{bmatrix},\quad Y\sim \begin{bmatrix} -1&1\\ \frac12&\frac12 \end{bmatrix},

且 P{XY=1}=0P\{XY=1\}=0。

  1. 求 (X,Y)(X,Y) 的联合分布律；
  2. 求 P{max⁡{X,Y}=1}P\{\max\{ X,Y \} =1\}；
  3. 求 Y=1Y=1 条件下 XX 的条件分布律；
  4. 判断 XX 和 YY 是否相互独立，并说明理由。

五、计算题

设 X1,X2,…,XnX_1,X_2,\ldots,X_n 独立同分布，且均服从二项分布 B(m,p)B(m,p)。

  1. 求 pp 的最大似然估计量 p^\widehat p；
  2. 设 β=1+p3\beta=\frac{1+p}{3}，求 β\beta 的最大似然估计量 β^\widehat\beta。

六、计算题

某网红奶茶店声称超大杯容量为 500 mL500\,\mathrm{mL}。调查人员随机取样 36 杯，测得样本均值为 490 mL490\,\mathrm{mL}，样本标准差为 12 mL12\,\mathrm{mL}。

根据这些数据，在显著性水平 α=0.05\alpha=0.05 下，检验是否能说明该奶茶的容量显著小于 500 mL500\,\mathrm{mL}，并给出检验过程。

可能会用到的量：

t0.05(35)=1.6896,t0.05(36)=1.6883,t0.025(35)=2.0301,t0.025(36)=2.0281.t_{0.05}(35)=1.6896,\quad t_{0.05}(36)=1.6883,\quad t_{0.025}(35)=2.0301,\quad t_{0.025}(36)=2.0281.

七、计算题

某冰淇淋店统计了气温与冰淇淋销售量的关系，共有 10 组数据如下。

这些数据计算出

∑i=110xi=110∑i=110yi=160∑i=110xi2=1320∑i=110yi2=2678∑i=110xiyi=1870\newcommand{\cell}[1]{\vcenter{\hbox{\rule[-1.6em]{0pt}{4.0em}$\displaystyle #1$}}} \begin{array}{|l|l|l|} \hline \cell{\sum_{i=1}^{10} x_i=110} & \cell{\sum_{i=1}^{10} y_i=160} & \cell{} \\ \hline \cell{\sum_{i=1}^{10} x_i^2=1320} & \cell{\sum_{i=1}^{10} y_i^2=2678} & \cell{\sum_{i=1}^{10} x_i y_i=1870} \\ \hline \end{array}
  1. 求线性回归方程 y^=a^+b^x\widehat y=\widehat a+\widehat b x；
  2. 在显著性水平 α=0.05\alpha=0.05 下，对线性回归方程 y^=a^+b^x\widehat y=\widehat a+\widehat b x 进行显著性检验。

可能会用到的量：

F0.05(1,8)=5.32,F0.05(1,9)=5.12,t0.05(8)=1.860,t0.05(9)=1.833.F_{0.05}(1,8)=5.32,\quad F_{0.05}(1,9)=5.12,\quad t_{0.05}(8)=1.860,\quad t_{0.05}(9)=1.833.