25-26-2-数学分析（下）-期中

填空题 (每题5分,共100分)

1. $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{2-\sqrt{xy+4}}{xy}=$ 【显示答案】 $-\frac{1}{4}$

2. 函数 $f(x,y)=\begin{cases}\frac{(x+y)^{2}}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)\ne(0,0)\\ 0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}$ 在点(0,0)处 ( )

   连续,偏导数存在

   连续,偏导数不存在

   不连续,偏导数存在

   不连续,偏导数不存在

   检查

3. 设 $u=f(xy,yz)$, 具有二阶连续偏导数,则 $\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y}=$ 【显示答案】 $f_{1}'+xyf_{11}^{\prime\prime}+yzf_{12}^{\prime\prime}$

4. 设函数 $u=f(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}})$, $f$可微,则 $\mathrm{d}u=$ 【显示答案】 $\frac{f'}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}(x\mathrm{d}x+y\mathrm{d}y+z\mathrm{d}z)$

5. 已知 $\varphi(t)$ 具有一阶连续导数,且 $\varphi'\ne\frac{a}{b}$ ($a$,$b$为非零常数),方程 $x-az=\varphi(y-bz)$ 确定 $z=z(x,y)$,则 $a\frac{\partial z}{\partial x}+b\frac{\partial z}{\partial y}=$ 【显示答案】 $1$

6. 向量值函数 $\vec{f}(x,y)=\begin{pmatrix}\sin x+\cos y\\ x^{2}y\end{pmatrix}$ 的导数 $\operatorname{D}\vec{f}=$ 【显示答案】 $\begin{pmatrix}\cos x&-\sin y\\ 2xy&x^{2}\end{pmatrix}$

7. 函数 $u=2x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 在点(1,1,1)处沿方向 【显示答案】 (4,2,2) 备注:方向与(4,2,2)同向就得分 增长最快, 最快增长率为 【显示答案】 $2\sqrt{6}$

8. 关于函数 $f(x,y)$ 的性质:①在点 $(x_{0},y_{0})$ 连续;②在点 $(x_{0},y_{0})$ 偏导数存在;③在点 $(x_{0},y_{0})$ 可微;④在点 $(x_{0},y_{0})$ 沿任意方向的方向导数存在;⑤在点 $(x_{0},y_{0})$ 偏导数连续,下列关系正确的是 ( )

   $③\Rightarrow ②\Rightarrow ①$

   $④\Rightarrow ②\Rightarrow ①$

   $⑤\Rightarrow ④\Rightarrow ①$

   $⑤\Rightarrow ③\Rightarrow ④$

   检查

9. 曲面 $2x^{2}+4y+e^{z}+1=0$ 在点 $M(1,-1,0)$ 处的切平面方程为 【显示答案】 $4(x-1)+4(y+1)+z=0$ 或 $4x+4y+z=0$

10. 函数 $f(x,y)=x^{3}-y^{3}+3x^{2}+3y^{2}-9x+5$ 的极小值点的坐标为 【显示答案】 (1,0)

11. 函数 $f(x,y,z)=x+y+z$ 在球面 $(x-a)^{2}+(y-a)^{2}+(z-2a)^{2}=3a^{2}(a>0)$ 上的最大值为 【显示答案】 $7a$

12. 曲线 $y=\ln\cos x$ 在点 $x=\frac{\pi}{4}$ 对应点处的曲率为 【显示答案】 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

13. 设区域 $D:|x|+|y|\le1$,则 $\iint_{D}(|x|+|y|)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$ 【显示答案】 $\frac{4}{3}$

14. 下列关系式错误的是 ( )

$\iint_{x^{2}+y^{2}\le1}(x^{2}+3y^{2})\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_{x^{2}+y^{2}\le1}(3x^{2}+y^{2})\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

$\iint_{\frac{x^{2}}{4}+y^{2}\le1}(x^{2}+3y^{2})\mathrm{d}x\mathrm{d}y\ne\iint_{\frac{y^{2}}{4}+x^{2}\le1}(3x^{2}+y^{2})\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

$\iint_{x^{2}+y^{2}\le1}(x^{2}+y^{2})\mathrm{d}x\mathrm{d}y\ge\iint_{x^{2}+y^{2}\le1}(x^{2}+y^{2})^{2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$

检查

15. 计算二次积分 $\int_{0}^{1}\mathrm{d}x\int_{x^{2}}^{1}x^{3}\sin(y^{3})\mathrm{d}y=$ 【显示答案】 $\frac{1}{12}(1-\cos 1)$

16. 将二次积分 $\int_{0}^{1}\mathrm{d}x\int_{x}^{\sqrt{x}}f(x^{2}+y^{2})\mathrm{d}y$ 转化为极坐标系下先 $\rho$ 后 $\theta$ 的二次积分为 【显示答案】 $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{\frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}}f(\rho^{2})\rho \mathrm{d}\rho$

17. 设 $\Omega$ 由抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 和平面 $z=1,z=2$ 围成,则 $\iiint_{\Omega}(x+y+z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=$ 【显示答案】 $\frac{7}{3}\pi$

18. 设 $\Omega: x^{2}+y^{2}+z^{2}\le1$ 则 $\iiint_{\Omega}(x-2y+z)^{2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=$ 【显示答案】 $\frac{8}{5}\pi$

19. 已知 $\Omega$ 由锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 和平面 $z=1$ 围成,将三重积分 $\iiint_{\Omega}f(x^{2}+y^{2}+z^{2})\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ 写成球坐标系下的三次积分为 【显示答案】 $\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\mathrm{d}\varphi\int_{0}^{\frac{1}{\cos\varphi}}f(r^{2})r^{2}\sin\varphi \mathrm{d}r$

20. 设 $f(u)$ 连续, $f(0)=1$, $\Omega_{t}:0\le z\le1,x^{2}+y^{2}\le t^{2}$, $F(t)=\iiint_{\Omega_{t}}z^{2}f(x^{2}+y^{2})\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$, 则 $F^{\prime\prime}(0)=$ 【显示答案】 $\frac{2}{3}\pi$

《数学分析（下）》的期中试卷

• 25-26-2-数学分析（下）-期中
  当前
• 24-25-2-数学分析（下）-期中
• 23-24-2-数学分析（下）-期中
  PDF
• 22-23-2-数学分析（下）-期中
  PDF
• 20-21-2-数学分析（下）-期中
  PDF