25-26-2-工科数学分析（下）-期中

填空题 （每题5分，共100分）

1. 设 $a>0$，则极限 $\lim_{\substack{x\to +\infin\\y \to a}} (1+\frac{1}{xy})^{\frac{x^{2}}{x+y}}=$ 【显示答案】 $e^{\frac1{a}}$

2. 设 $f(x,y)=\frac{2x+3y}{1+xy\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$，则 $f_{x}(0,0)=$ 【显示答案】 2

3. 曲线 $\begin{cases}z=\sqrt{1+x^{2}+y^{2}} \\ x=1\end{cases}$ 在点 $(1,1,\sqrt{3})$ 处的切线与 $y$ 轴正向的夹角是 【显示答案】 $\frac{\pi}6$

4. 函数 $f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^{2}y}{\sqrt{x^{4}+y^{2}}}, & (x,y)\ne(0,0), \\ 0, & (x,y)=(0,0)\end{cases}$ 在 $(0,0)$ 点：( )

5. 设 $z=f(x^{2}y, xy)$，其中函数 $f(u,v)$ 具有二阶连续偏导数，则 $z_{xy}=$ 【显示答案】 $2xf_{1}+f_{2}+2x^{3}yf_{11}+3x^{2}yf_{12}+xyf_{22}$

6. 设 $z=z(x,y)$ 是由方程 $z+\ln z+\int_{y}^{x} e^{t^{2}} \mathrm{d}t = 1$ 所确定的隐函数，则 $\mathrm{d}z|_{(1,1,1)}=$ 【显示答案】 $-\frac{e}2 \mathrm{d}x + \frac{e}2 \mathrm{d}y$

7. 向量值函数 $\vec{f}(x,y)=\begin{pmatrix} \arctan x \\ e^{y} \end{pmatrix}$ 在点 $(1,0)$ 处的导数（雅可比矩阵）是 【显示答案】 $\begin{pmatrix} \frac12&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}$

8. 函数 $u=xy^{2}+z^{3}-xyz$ 在点 $A(1,1,2)$ 处沿 $\vec{l}=(1,\sqrt{2},1)$ 方向的方向导数 $\frac{\partial u}{\partial \vec{l}}|_{(1,1,2)}=$ 【显示答案】 5

9. 函数 $f(x,y)=x^{3}-4x^{2}+2xy-y^{2}$ 取得极大值点的坐标是 【显示答案】 (0,0)

10. 抛物柱面 $y=x^{2}$ 与抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 交线上点 $P(1,1,2)$ 处的切线方程是 【显示答案】 $\frac{x-1}1=\frac{y-1}2=\frac{z-2}6$

11. 已知平面 $2x+3y-z=\lambda$ 是曲面 $z=2x^{2}+3y^{2}$ 的切平面，则切点坐标是 【显示答案】 $(\frac12,\frac12,\frac54)$

12. 设 $(\sigma)$ 是由曲线 $y=x^{3}$，$y=-x^{3}$ 与直线 $x=1$ 所围成的平面区域，则 $\iint_{(\sigma)}x(1+ye^{x^{2}+y^{2}})\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$ 【显示答案】 $\frac25$

13. 二次积分 $\int_{0}^{\pi} \mathrm{d}x \int_{0}^{x} \frac{\sin y}{\pi - y} \mathrm{d}y =$ 【显示答案】 2

14. 设区域 $(\sigma_{t}): x^{2}+y^{2} \le t^{2} (t>0)$，则 $\lim_{t\rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^{2}} \iint_{(\sigma_{t})} e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y =$ 【显示答案】 $\pi$

15. 将积分化为极坐标下的累次积分：$\int_{1}^{2} \mathrm{d}y \int_{0}^{y} f(x^{2}+y^{2}) \mathrm{d}x =$ 【显示答案】 $\int_{\frac{\pi}4}^{\frac{\pi}2} \mathrm{d}\theta \int_{\frac1{\sin \theta}}^{\frac2{\sin \theta}} f(\rho^2)\rho \mathrm{d}\rho$

16. 设平面区域 $(\sigma)=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}\le 1\}$，则 $\iint_{(\sigma)} (\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}) \mathrm{d}x\mathrm{d}y =$ 【显示答案】 $\frac{\pi}4(\frac1{a^2}+\frac1{b^2})$

17. 设 $(V)$ 是由平面 $x=0, y=0, z=0$ 和 $x+y+z=1$ 所围成的四面体，则 $\iiint_{(V)} z \mathrm{d}V =$ 【显示答案】 $\frac1{24}$

18. 设 $(V)$ 是由锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与平面 $z=1$ 所围成的立体，则 $\iiint_{(V)} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{d}V =$ 【显示答案】 $\frac{\pi}6$

19. 设 $(V)$ 是由球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2z$ 与锥面 $z^{2}=x^{2}+y^{2}$ 所围成的立体，将三重积分化为球坐标下的累次积分：$\iiint_{(V)} z^{2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z =$ 【显示答案】 $\int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{\pi}4} \mathrm{d}\varphi \int_0^{2\cos \varphi} r^4{\cos}^2 \varphi \sin \varphi \mathrm{d}r$

20. 设区域 $(V_{t})=\{(x,y,z)|x^{2}+y^{2}+z^{2}\le t^{2}\}, t>0$，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上可导，且 $f(0)=0, f'(0)=1$，则 $\lim_{t\rightarrow 0^{+}} \frac{\iiint_{(V_{t})} f(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}) \mathrm{d}V}{t^{4}} =$ 【显示答案】 $\pi$