25-26-2-大学物理D-期末

一、选择题（每题 3 分，共 60 分）

1. 质点沿半径为 $R$ 的圆周作匀速率运动，每 $t$ 秒转一圈，在 $2t$ 时间间隔中，其平均速度大小与平均速率大小分别为 ( )

$2\pi R/t,\ 2\pi R/t$

$0,\ 2\pi R/t$

$0,\ 0$

$2\pi R/t,\ 0$

检查

2. 一小球沿斜面向上运动，运动方程为 $s=5+4t-t^2$，则小球运动到最高点的时刻是 ( )

$t=4\ \mathrm{s}$

$t=2\ \mathrm{s}$

$t=8\ \mathrm{s}$

$t=5\ \mathrm{s}$

检查

3. 如图所示，滑轮、绳子质量及运动中的摩擦阻力都忽略不计，物体 $A$ 的质量 $m_1$ 大于物体 $B$ 的质量 $m_2$。在 $A$、$B$ 运动过程中弹簧秤 $S$ 的读数是 ( )

图片暂缺 题图3.svg

题图3

$(m_1+m_2)g$

$(m_1-m_2)g$

$\dfrac{2m_1m_2}{m_1+m_2}g$

$\dfrac{4m_1m_2}{m_1+m_2}g$

检查

4. 质点在恒力 $\vec{F}$ 作用下由静止开始作直线运动。已知在时间 $\Delta t_1$ 内，速率由 $0$ 增加到 $v$；在 $\Delta t_2$ 内，速率由 $v$ 增加到 $2v$。设该力在 $\Delta t_1$ 内，冲量大小为 $I_1$，所作的功为 $A_1$；在 $\Delta t_2$ 内，冲量大小为 $I_2$，所作的功为 $A_2$，则 ( )

$A_1=A_2,\ I_1<I_2$

$A_1=A_2,\ I_1>I_2$

$A_1>A_2,\ I_1=I_2$

$A_1<A_2,\ I_1=I_2$

检查

5. 半径分别为 $R$ 和 $r$ 的两个金属球，相距很远。用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电。忽略导线携带电荷的影响，两球表面的电荷面密度之比 $\sigma_R/\sigma_r$ 为 ( )

$r/R$

$R^2/r^2$

$r^2/R^2$

$R/r$

检查

6. 如图，点电荷 $-q$ 位于圆心 $O$ 处，$A$、$B$、$C$、$D$ 为同一圆周上的四点。现将一试验电荷从 $A$ 点分别移动到 $B$、$C$、$D$ 各点，则 ( )

图片暂缺 题图6.svg

题图6

从 $A$ 到 $B$，电场力作功最大

从 $A$ 到 $C$，电场力作功最大

从 $A$ 到 $D$，电场力作功最大

从 $A$ 到各点，电场力作功相等

检查

7. 一电容为 $C$ 的电容器，两极板上分别带有电荷 $\pm q$，若使该电容器与另一个完全相同的不带电的电容器并联，静电平衡后该电容器组的静电能为 ( )

$\dfrac{q^2}{4C}$

$\dfrac{q^2}{2C}$

$\dfrac{q^2}{C}$

无法确定

检查

8. 一长直导线通入电流 $I$，导线与长为 $L$ 的金属棒共面，棒左端与长直导线相距为 $a$。当棒以角速度 $\omega$ 绕 $O$ 端在纸面内匀角速转动时，求如图位置 $\theta$ 时棒中的动生电动势 ( )

图片暂缺 题图8.svg

题图8

$0$

$\dfrac{\mu_0\omega I}{2\pi}\ln\dfrac{a+L}{a}$

$\dfrac{\mu_0\omega I a}{2\pi\cos\theta}\ln\dfrac{a+L\cos\theta}{a}$

$\dfrac{\mu_0\omega I}{2\pi\cos^2\theta}\left(L\cos\theta-a\ln\dfrac{a+L\cos\theta}{a}\right)$

检查

9. 自感为 $0.25\ \mathrm{H}$ 的线圈中，当电流在 $(1/16)\ \mathrm{s}$ 内由 $2\ \mathrm{A}$ 均匀减小到零时，线圈中自感电动势的大小为 ( )

$7.8\times10^{-3}\ \mathrm{V}$

$3.1\times10^{-2}\ \mathrm{V}$

$8.0\ \mathrm{V}$

$12.0\ \mathrm{V}$

检查

10. 关于位移电流，下列说法正确的是 ( )

位移电流是由电荷定向运动产生的

位移电流不能产生磁场

位移电流的实质是变化的电场

位移电流也有焦耳热效应

检查

11. 一根弦上形成驻波，波长为 $\lambda$，其两相邻波节之间的距离为 ( )

$\lambda$

$\lambda/2$

$\lambda/4$

不确定

检查

12. 一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻媒质中某质元在负的最大位移处，则它的能量是 ( )

动能为零，势能最大

动能为零，势能为零

动能最大，势能最大

动能最大，势能为零

检查

13. 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线。若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为 ( )

图片暂缺 题图13.svg

题图13

$3\pi/2$

$\pi/2$

$\pi$

$0$

检查

14. 分别敲击某待测音叉和标准音叉，使它们同时发音，听到时强时弱的拍音。若测得在 $20\ \mathrm{s}$ 内拍的次数为 180 次，标准音叉的频率为 $300\ \mathrm{Hz}$，则待测音叉的频率可能为 ( )

$291\ \mathrm{Hz}$

$480\ \mathrm{Hz}$

$120\ \mathrm{Hz}$

$240\ \mathrm{Hz}$

检查

15. 在双缝干涉实验中，两条缝的宽度原来是相等的。若其中一缝的宽度略变窄（缝中心位置不变），则 ( )

干涉条纹的间距变宽

干涉条纹的间距变窄

干涉条纹的间距不变，但原极小处的强度不再为零

不再发生干涉现象

检查

16. 在折射率 $n_3=1.5$ 的玻璃表面镀一层折射率 $n_2=1.38$ 的透明薄膜（薄膜上方为空气），为使波长为 $550\ \mathrm{nm}$ 的光在正入射时反射最小，薄膜的最小厚度应为 ( )

$137.5\ \mathrm{nm}$

$99.6\ \mathrm{nm}$

$275\ \mathrm{nm}$

$199.3\ \mathrm{nm}$

检查

17. 两块平玻璃构成空气劈形膜，左边为棱边，用单色平行光垂直入射。若上面的平玻璃缓慢地向上平移，则干涉条纹 ( )

向棱边方向平移，条纹间隔变小

向棱边方向平移，条纹间隔变大

向棱边方向平移，条纹间隔不变

向远离棱边的方向平移，条纹间隔不变

检查

18. 在迈克耳孙干涉仪的一条光路中，放入一折射率为 $n$，厚度为 $d$ 的透明薄片，放入后，这条光路的光程改变了 ( )

$2(n-1)d$

$2nd$

$2(n-1)d+\lambda/2$

$(n-1)d$

检查

19. 某雷达的工作波长为 $\lambda=3.0\ \mathrm{cm}$，天线反射面（相当于圆孔口径）的直径为 $D=1.2\ \mathrm{m}$。当两架飞机并排飞行且与雷达站的距离为 $L=40\ \mathrm{km}$ 时，若雷达刚好能分辨出这是两架飞机，则这两架飞机之间的最小距离约为 ( )

$1.22\ \mathrm{km}$

$2.44\ \mathrm{km}$

$0.61\ \mathrm{km}$

$4.88\ \mathrm{km}$

检查

20. 对某一定波长的垂直入射光，衍射光栅的屏幕上只能出现零级和一级主极大，欲使屏幕上出现更高级次的主极大，应该 ( )

换一个光栅常数较小的光栅

换一个光栅常数较大的光栅

将光栅向靠近屏幕的方向移动

将光栅向远离屏幕的方向移动

检查

二、计算题（每题 10 分，共 40 分）

21.

质点沿 $x$ 轴运动，其加速度和位置的关系为 $a=2+6x^2$，$a$ 的单位为 $\mathrm{m\cdot s^{-2}}$，$x$ 的单位为 $\mathrm{m}$。质点在 $x=0$ 处时，速度为 $10\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$，试求质点在任何坐标处的速度值。

› 答案 / 解析

利用

$$a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} =\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x},$$

有

$$v\,\mathrm{d}v=(2+6x^2)\,\mathrm{d}x.$$

由初始条件 $x=0$ 时 $v_0=10\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$，积分得

$$\frac{1}{2}(v^2-v_0^2)=2x+2x^3.$$

因此质点沿 $+x$ 方向运动时

$$v(x)=\sqrt{100+4x+4x^3}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.$$

22.

如图，半径为 $R_1$ 的导体球 $A$ 带电 $Q$，球外套一内外半径分别为 $R_2$ 和 $R_3$ 的同心导体球壳，球壳自身不带电。静电平衡时，求：

图片暂缺 题图22.svg

题图22

1. 球壳内、外表面所带电荷量各是多少；
2. Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 四个区域内的场强分布；
3. Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 四个区域内的电势分布。

› 答案 / 解析

设 $r$ 为场点到球心 $O$ 的距离，并取无穷远处电势为零。静电平衡时，导体球壳内表面感应电荷为 $-Q$；因球壳本身不带电，其外表面电荷为 $+Q$。

1. 球壳内、外表面电荷量分别为

$$Q_{\text{内}}=-Q,\qquad Q_{\text{外}}=+Q.$$

2. 由高斯定理，各区域的场强为

$$\vec E(r)= \begin{cases} 0, & 0\le r<R_1 \quad(\mathrm{I}),\\[4pt] \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\,\vec e_r, & R_1<r<R_2 \quad(\mathrm{II}),\\[8pt] 0, & R_2<r<R_3 \quad(\mathrm{III}),\\[4pt] \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\,\vec e_r, & r>R_3 \quad(\mathrm{IV}). \end{cases}$$

3. 各区域的电势为

$$V(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \begin{cases} \dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{1}{R_3}, & 0\le r<R_1 \quad(\mathrm{I}),\\[8pt] \dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{1}{R_3}, & R_1<r<R_2 \quad(\mathrm{II}),\\[8pt] \dfrac{1}{R_3}, & R_2<r<R_3 \quad(\mathrm{III}),\\[8pt] \dfrac{1}{r}, & r>R_3 \quad(\mathrm{IV}). \end{cases}$$

23.

如图所示，一平面简谐波沿 $+x$ 方向传播，遇波密媒质界面 $BC$ 时将发生完全反射。设 $t=0$ 时由入射波引起的坐标原点 $O$ 点的振动初相位为 $\pi/2$，振幅为 $A$，圆频率为 $\omega$，图中 $\overline{OE}=3\lambda/4$，$\overline{DE}=\lambda/6$。求：

图片暂缺 题图23.svg

题图23

1. 入射波在坐标原点 $O$ 点的振动表达式；
2. 入射波波函数；
3. 反射波波函数；
4. $D$ 点的合振动表达式。

› 答案 / 解析

波数

$$k=\frac{2\pi}{\lambda}.$$

1. $O$ 点在 $t=0$ 时的初相为 $\pi/2$，故入射波引起的 $O$ 点振动为

$$y_O=A\cos\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right).$$

2. 入射波沿 $+x$ 方向传播，其波函数为

$$y_{\mathrm{i}}(x,t)=A\cos\left(\omega t-kx+\frac{\pi}{2}\right).$$

3. 波在波密媒质界面处反射时发生半波损失。界面位置为

$$x_E=\frac{3\lambda}{4},\qquad kx_E=\frac{3\pi}{2}.$$

由界面处 $y_{\mathrm{i}}+y_{\mathrm{r}}=0$，可得沿 $-x$ 方向传播的反射波

$$y_{\mathrm{r}}(x,t)=A\cos\left(\omega t+kx+\frac{\pi}{2}\right).$$

4. $D$ 点的坐标为

$$x_D=\frac{3\lambda}{4}-\frac{\lambda}{6}=\frac{7\lambda}{12}, \qquad kx_D=\frac{7\pi}{6}.$$

因此

$$\begin{aligned} y_D &=A\cos\left(\omega t-\frac{2\pi}{3}\right) +A\cos\left(\omega t-\frac{\pi}{3}\right)\\ &=\sqrt{3}A\cos\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right) =\sqrt{3}A\sin\omega t. \end{aligned}$$

24.

如图，用波长在 $450\sim500\ \mathrm{nm}$ 范围内的单色蓝光垂直照射宽度 $a=0.6\ \mathrm{mm}$ 的单缝，缝后紧贴一焦距 $f=0.4\ \mathrm{m}$ 的会聚透镜，观察屏置于透镜焦平面处，测得屏上距中央亮纹中心 $1.4\ \mathrm{mm}$ 的 $P$ 点处为亮纹中心。求：

图片暂缺 题图24.svg

题图24

1. 入射光波长；
2. $P$ 点处亮纹的级次；
3. 对汇聚到 $P$ 点的衍射光，单缝处的波阵面可分成几个半波带？

› 答案 / 解析

在小角度近似下

$$\sin\theta\approx\tan\theta=\frac{x}{f} =\frac{1.4\times10^{-3}}{0.4}=3.5\times10^{-3}.$$

单缝两端到 $P$ 点的光程差为

$$\delta=a\sin\theta =0.6\times10^{-3}\times3.5\times10^{-3} =2.1\times10^{-6}\ \mathrm{m}.$$

单缝衍射的次级亮纹中心近似满足

$$\delta=\frac{2k+1}{2}\lambda,\quad k=1,2,3,\ldots$$

由 $450\ \mathrm{nm}\le\lambda\le500\ \mathrm{nm}$，只有 $2m+1=9$ 符合条件，即 $m=4$。因此

$$\lambda=\frac{2\delta}{9} =4.67\times10^{-7}\ \mathrm{m} \approx467\ \mathrm{nm}.$$

$P$ 点为第 $4$ 级次级亮纹中心。由于

$$\delta=\frac{9\lambda}{2},$$

故单缝处的波阵面可分成 $9$ 个半波带。

$$k=4,\qquad N=9.$$

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