25-26-1-线性代数-期末（B卷）

由 $A+B=AB$,得 $AB-A-B=0$,

等号两边同加单位矩阵 $E$, 得 $AB-A-B+E=E$,

即 $(A-E)(B-E)=E$,

故 $A-E$ 可逆,逆矩阵为 $B-E$.

$B-E=\begin{pmatrix}0&-3&0\\2&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$,

$A-E=\left(B-E\right)^{-1}=\begin{pmatrix}0&\frac{1}2&0\\-\frac{1}3&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$,

$A=\begin{pmatrix}1&\frac{1}2&0\\-\frac{1}3&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}$.

设 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = \begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$.

解法一: $|A| = -1 \neq 0$,

即 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，因此是 $\mathbf{R}^3$ 的一组基.

解法二: $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$,

由行阶梯形知 $r(A)=3$，故向量组线性无关，构成 $\mathbf{R}^3$ 的一组基.

设 $B = (\beta_1, \beta_2, \beta_3) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 4 \\ 3 & 1 & 3 \end{pmatrix}$,

增广矩阵 $(A \mid E) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$,

所以 $A^{-1} =\begin{pmatrix}0 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$,

$P = A^{-1}B =\begin{pmatrix}1 & -1 & -1 \\ 0 & -3 & -4 \\ 2 & 2 & 4\end{pmatrix}$.

$|P| = -2 \neq 0$,

又因 $|A| \neq 0$，故 $|B| = |A||P| \neq 0$，即 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 线性无关，构成 $\mathbf{R}^3$ 的一组基.

设 $x = (2,3,-1)^T$,所求坐标为 $y$, 则 $\alpha = Bx = Ay$,

$y = A^{-1}Bx = Px = (0, -5, 6)^T$.

设 $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & k \end{pmatrix}$， 由 $AB = 0$ 得 $r(A) + r(B) \le 3$.

1)当 $k \neq 9$ 时，$r(B) = 2$，则 $r(A) \le 1$. 又因 $A$ 的第一行不全为 $0$，故 $r(A) \neq 0$， 所以 $r(A) = 1$，基础解系含两个向量， 通解为 $x = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ k \end{pmatrix}, \quad c_1, c_2 \in \mathbb{R}$.

2)当 $k = 9$ 时，$r(B) = 1$，则 $r(A) = 1$ 或 $2$.

a)当 $r(A) = 2$ 时，通解为 $x = t \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}.$ b)当 $r(A) = 1$ 时，基础解系含两个向量， 其中一个为 $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$，另一个无法确定.

设特征值 $\lambda_1, \lambda_2$，则 $A\alpha_1 = \lambda_1 \alpha_1$, $A\alpha_2 = \lambda_2 \alpha_2$.

$A^2\alpha_1 = A(\lambda_1\alpha_1) = \lambda_1^2 \alpha_1$， $A^2\alpha_2 = \lambda_2^2 \alpha_2$.

由 $A^2(\alpha_1+\alpha_2)=\alpha_1+\alpha_2$, 得 $A^2\alpha_1 + A^2\alpha_2 = \alpha_1 + \alpha_2$,

$\lambda_1^2 \alpha_1 + \lambda_2^2 \alpha_2 = \alpha_1 + \alpha_2$,

$(\lambda_1^2 - 1)\alpha_1 + (\lambda_2^2 - 1)\alpha_2 = 0$. 故 $\lambda_1 = 1,\ \lambda_2 = -1$（或交换）. $|A| = \lambda_1 \lambda_2 = 1 \times (-1) = -1$.

$A^T A$ 是 $3 \times 3$ 矩阵，设三个特征值为 $\mu_1, \mu_2, \mu_3$；

$A A^T$ 是 $2 \times 2$ 矩阵，设两个特征值为 $\lambda_1, \lambda_2$.

$A A^T$ 的非零特征值等于 $A^T A$ 的非零特征值（理由如下）:

设 $\lambda \neq 0$ 是 $A^T A$ 的特征值，对应特征向量 $v$，即 $A^T A v = \lambda v$.

两边左乘 $A$ 得 $A A^T (A v) = \lambda (A v)$,

所以 $A v$ 是 $A A^T$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量.

记 $\lambda_1 = \mu_1$，$\lambda_2 = \mu_2$.

$(A^T A - 2E)x = 0$ 有非零解，则 $|A^T A - 2E| = 0$，即 $2$ 是 $A^T A$ 的一个特征值，记 $\lambda_1 = \mu_1=2$.

由 $|AA^T| = 2$ 得 $\lambda_1 \lambda_2 = 2$，且 $\lambda_1 = 2$，所以 $\mu_2=\lambda_2 = 1$.

因为 $r(A^T A) = r(A) \le 2$，所以 $|A^T A| = 0$，$\mu_3 = 0$.

$(A^T A + E)$ 的行列式等于其特征值的乘积： $|A^T A + E| = (\mu_1 + 1)(\mu_2 + 1)(\mu_3 + 1) = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

记 $M = 2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T$， $M\alpha = (2\alpha\alpha^T)\alpha + (\beta\beta^T)\alpha = 2\alpha(\alpha^T\alpha) + \beta(\beta^T\alpha) = 2\alpha \cdot 1 + \beta \cdot 0 = 2\alpha$ 所以 $\alpha$ 是 $M$ 的属于特征值 $2$ 的特征向量.

同理 $\beta$ 是 $M$ 的属于特征值 $1$ 的特征向量.

$\alpha,\beta$ 是正交的单位向量，则存在 $\gamma \in \mathbb{R}^3$，$\gamma \perp \alpha,\ \gamma \perp \beta,\ |\gamma| = 1$，

$M\gamma = 2\alpha(\alpha^T\gamma) + \beta(\beta^T\gamma) = 2\alpha\cdot 0 + \beta\cdot 0 = 0$ 所以 $\gamma$ 是 $M$ 的属于特征值 $0$ 的特征向量.

特征值为 $2,1,0$，标准形正惯性指数为 $2$，负惯性指数为 $0$，符号差为 $2$.

A与B相似，理由如下： 令 $P = (\beta_1, \beta_2, \beta_3)$, 则 $x = P\tilde{x}$, $y = P\tilde{y}$,

代入 $y = Ax$ 得 $P\tilde{y} = AP\tilde{x}$， 即 $\tilde{y} = (P^{-1}AP)\tilde{x}$， 所以 $B = P^{-1}AP$.