24-25-1-高等数学B（上）-期末

一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

  1. lim⁡x→1(x−1)tan⁡π2x=\lim_{x \to 1} (x-1) \tan \frac{\pi}{2} x = 【暂无答案】

  2. lim⁡n→∞∑k=1nk2024∑k=1nn∑k=1nk2023=\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} k^{2024}}{\sum_{k=1}^{n} n \sum_{k=1}^{n} k^{2023}} = 【暂无答案】

  3. 已知 lim⁡x→0∫bxt21+t2dtsin⁡x−ax=−2\lim_{x \to 0} \frac{\int_{b}^{x} \frac{t^2}{\sqrt{1+t^2}} dt}{\sin x - ax} = -2，则常数 a,ba, b 为 【暂无答案】。

  4. 设函数 y=y(x)y = y(x) 由方程

{x=ln⁡(1−t)y=∫0ts1−s2ds\begin{cases} x = \ln(1-t) \\ y = \int_{0}^{t} \frac{s}{\sqrt{1-s^2}} ds \end{cases}

确定，则 d2ydx2∣x=0=\left. \frac{d^2 y}{d x^2} \right|_{x=0} = 【暂无答案】

  1. 设 f(x)=xe−x2f(x) = xe^{-x^2}，则 f(7)(0)=f^{(7)} (0) = 【暂无答案】

  2. 不定积分 ∫1x1+f′(x)x dx=\int_{1}^{x} \frac{1+f'(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx = 【暂无答案】

  3. ∫−π4π4(tan⁡x+1−cos⁡2x)2 dx=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac\pi4} (\tan x + \sqrt{1-\cos 2x})^2 \, dx = 【暂无答案】

  4. 设

f(x)={ln⁡x,x≥0,2+x,x<0,f(x) = \begin{cases} \ln x, & x \geq 0, \\ 2+x, & x < 0, \end{cases}

则 ∫02f(x−1) dx=\int_0^2 f(x-1) \, dx = 【暂无答案】

  1. ∫01x dx1−x2=\int_0^1 \frac{x \, dx}{\sqrt{1-x^2}} = 【暂无答案】

  2. 二阶微分方程 y′′=y′+xy'' = y' + x 的通解为 【暂无答案】

二、计算题（15分）

  1. ∫sin⁡x1+sin⁡x dx\int \frac{\sin x}{1+\sin x} \, dx
  2. ∫011+x1+x dx\int_0^1 \frac{1+x}{1+\sqrt{x}} \, dx
  3. 设 f(x)=∫πxsin⁡tt dtf(x) = \int_{\pi}^{x} \frac{\sin t}{t} \, dt，求 ∫0πf(x) dx\int_{0}^{\pi} f(x) \, dx。

三、（11分）

求函数 y=(x−1)3(x+1)2y = \frac{(x-1)^3}{(x+1)^2} 的定义域、单调区间、极值点、凹凸区间及曲线的拐点和渐近线。

四、证明题（10分）

设函数 f(x)f(x) 连续，证明：

  1. ∫0ax3f(x2)dx=12∫0a2xf(x)dx\int_{0}^{a} x^3 f(x^2) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{a^2} x f(x) dx
  2. ∫0πxf(sin⁡x)dx=π2∫0πf(sin⁡x)dx\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx

五、（10分）

记直线 x=12x = \frac{1}{2}，抛物线 y2=2xy^2 = 2x 所围封闭图形为 DD，求

  1. DD 的面积；
  2. DD 绕直线 y=1y = 1 旋转一周所得旋转体的体积。

六、（8分）

证明不等式：∣a+b∣π+∣a+b∣≤∣a∣π+∣a∣+∣b∣π+∣b∣\frac{|a+b|}{\pi+|a+b|} \leq \frac{|a|}{\pi+|a|} + \frac{|b|}{\pi+|b|}，其中 a,ba, b 是任意实数。

七、（10分）

求微分方程 y′′−3y′+2y=xe2xy'' - 3y' + 2y = xe^{2x} 的通解。

八、（6分）

设函数 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上连续递增，令 F(x)=∫axf(t)dtF(x) = \int_a^x f(t)dt，x1,x2∈[a,b]x_1, x_2 \in [a,b] 且 x1<x2x_1 < x_2。证明： F(x1+x22)≤12[F(x1)+F(x2)]F\left( \frac{x_1 + x_2}{2} \right) \leq \frac{1}{2} \left[ F(x_1) + F(x_2) \right]。