24-25-1-随机过程-期末

一、选择题（每题4分，共20分）

设 $\{N(t), t \geq 0\}$ 是参数为 $\lambda > 0$ 的泊松过程， $N(0) = 0$ ，并设 $T_1, T_2, \ldots$ 为到达间隔时间序列。若到达间隔时间序列 $T_1, T_2, \ldots$ 的概率密度函数为

f(x) = \begin{cases} \mathrm{e}^{-x}, & x > 0, \\ 0, & \text{其他}, \end{cases}

则 $P\{N(1) = 1, N(2) = 3, N(3) = 5\} =$ ( ).

8 \mathrm{e}^{-5}

\frac{\mathrm{e}^{-5}}{4}

8 \mathrm{e}^{-3}

\frac{\mathrm e^{-3}}4

设随机过程 $X(t) = A\cos t + B\sin t$ ，其中 $A, B$ 为相互独立的随机变量，且 $E(A) = E(B) = 0$ ， $D(A) = D(B) = \sigma^2$ ，则下列说法正确的是 ( ).

X(t)

是严平稳过程

X(t)

是独立增量过程

X(t)

是宽平稳过程

X(t)

是正交增量过程

设 $N_{1}(t)$ 和 $N_{2}(t)$ 分别为强度是 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 的相互独立地泊松过程，令 $X(t) = N_{1}(t) + N_{2}(t), t > 0$ ，则一下关于 $X(t)$ 的结论错误的是 ( ).

X(t)

为强度是

\lambda_{1} + \lambda_{2}

的泊松过程

X(t)

的均值函数为

\mu_X(t) = (\lambda_1 + \lambda_2)t

自协方差函数

\operatorname{Cov}_{X}(s, t) = \left( \lambda_{1} + \lambda_{2}\right) \min \{ s,t\}

P \{X (t) = k \} = \frac {(\lambda_ {1}) ^ {k}}{k !} \mathrm{e} ^ {- \lambda_ {1} t} + \frac {(\lambda_ {2}) ^ {k}}{k !} \mathrm{e} ^ {- \lambda_ {2} t}

初始分布和一步转移概率矩阵

初始分布和多步转移概率矩阵

一步转移概率矩阵和多步转移概率矩阵

初始分布

q(0)

和一维分布为

q(n)

\left( \begin{matrix}3 & -2 & -1 & 0\\ -1 & 4 & -2 & -1\\ -1 & -2 & 3 & 0\\ -1 & -2 & -1 & 4 \end{matrix} \right)

,

\left(\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac12 & \frac12 & 0\\ \frac13 & 0 & 0 & \frac23 \end{matrix}\right)

\left( \begin{matrix} - 3 & 2 & 1 & 0\\ 1 & -4 & 2 & 1\\ 1 & 3 & -4 & 0\\ 1 & 2 & 1 & -4 \end{matrix} \right)

,

\left( \begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\ \frac{1}{3} & 0 & 0 & -\frac{2}{3} \end{matrix} \right)

设复合泊松过程 $\left\{Y(t) = \sum_{k=1}^{N(t)} X_k, t \geq 0\right\}, \left\{N(t), t \geq 0\right\}$ 的强度 $\lambda = 2$ ， $X_k (k = 1, 2, \dots)$ 均服从数学期望为5的正态分布，则均值函数 $\mu_Y(t) =$ 【暂无答案】
设平稳过程 $\{ X\left( t\right) ,t \geq 0\}$ 的功率谱密度 $S_{X}\left( \omega \right) = \frac{1}{4 + {\omega}^{2}}$ ，则其自相关函数为 $R_X(\tau)=$ 【暂无答案】
设随机过程 $X\left( t\right) = A\cos \left( {{\omega }_{0}t + \Theta }\right)$ ，其中 $A$ 和 ${\omega }_{0}$ 为常数, $\Theta$ 为 $\left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack$ 均匀分布的随机变量,则 $X\left( t\right)$ 的平均功率 $Q$ 为【暂无答案】
设有限马尔可夫链的状态空间为 $E = \{1,2,3,4\}$ ，转移概率矩阵为

\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac {1}{2} & \frac {1}{2} & 0 \\ \frac {1}{3} & 0 & 0 & \frac {2}{3} \end{matrix} \right)

则常返态有【暂无答案】，非常返态有【暂无答案】

P = \left( \begin{matrix} \frac {1}{2} & \frac {1}{2} & 0 \\ \frac {1}{2} & 0 & \frac {1}{2} \\ 0 & \frac {1}{2} & \frac {1}{2} \end{matrix} \right)

则其平稳分布为【暂无答案】

给定一个随机过程 $X(t)$ 和任一实数 $x$ ，定义另一个随机过程

Y (t) = \begin{cases}2, & X (t) > x, \\ 0, & X (t) \leq x, \end{cases}

试用 $X(t)$ 一维和二维分布函数来表示 $Y(t)$ 的均值函数和自相关函数

设 $\{N(t), t \geq 0\}$ 是一强度 $\lambda$ 的齐次泊松过程，

设随机振幅信号为

X (t) = V \sin \omega_ {0} t,

其中 $\omega_0 > 0$ 为常数， $V \sim N(0, \sigma^2)$ ，求该随机过程的均值函数、相关函数、协方差函数和方差。

假设平稳过程 $X(t)$ 的导数存在，试证：

$E[X'(t)] = 0$
$X'(t)$ 与 $X(t)$ 的互相关函数 $R_{X'X}(\tau) = -\frac{\mathrm dR_{X^{\prime}}(\tau)}{\mathrm d\tau}$ ；
$X(t)$ 与 $X'(t)$ 的互相关函数 $R_{\lambda\lambda'}(\tau)=\frac{\mathrm dR_{\lambda}(\tau)}{\mathrm d\tau}$ .

设 $\{X_{n}, n \geq 0\}$ 为马尔可夫链，状态空间 $E = \{1, 2, 3, 4\}$ ，转移矩阵为

P = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \frac {1}{4} & \frac {1}{4} & \frac {1}{4} & \frac {1}{4} \end{matrix} \right),

初始分布为 $\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$

求：

设 $\{X_{n}, n \geq 0\}$ 为马尔可夫链，状态空间 $E = \{1,2,3,4\}$ ，转移矩阵为

P = \left(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac {1}{3} & 0 & \frac {1}{3} & \frac {1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}\right)

讨论各状态的常返性、周期，判断是否正常返、零常返或遍历。