24-25-1-离散数学-期末

一、选择题（每题2分，共10分）

$(\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\oplus\{\{\varnothing\}\})-\varnothing=$ ( )， $\oplus$ 为集合的对称差运算， $-$ 为集合的差运算。

\varnothing

\{\varnothing\}

\{\varnothing,\{\varnothing\}\}

\{\{\varnothing\}\}

\lnot\forall x(R(x)\rightarrow Q(x))

\forall x(R(x)\land Q(x))

\exists x(R(x)\land Q(x))

\forall x(R(x)\rightarrow Q(x))

全串

当前字符串的补串

空串

当前字符串的逆串

\log(x+1)^2

(\log(x+1))^2

(\log x)^2+1

(\log x+1)^2

设函数 $f(x)=\begin{cases}x,&x\ge0\\-x^2+1,&x<0\end{cases}$ 与 $g(x)=\begin{cases}2x+1,&x>0\\5x-1,&x<0\end{cases}$ ，则函数 $f$ 和 $g$ 的类型分别是 ( )。

满射，单射

双射，双射

双射，满射

满射，双射

命题公式 $\lnot(p\rightarrow q)\land q$ 的类型是【暂无答案】。
命题公式 $p\land q$ 仅用联结词 $\{\lnot,\lor\}$ 可表示为【暂无答案】，仅用联结词 $\{\uparrow\}$ 可表示为【暂无答案】，仅用联结词 $\{\downarrow\}$ 可表示为【暂无答案】。
设 $\mathbf{A}=\{p,q,r\}$ ，则 $|P(\mathbf{A})|$ ，由 $\mathbf{A}$ 中命题变项所构造的命题公式共有【暂无答案】种真值组合。
设 $\mathbf{A}=\{a,b,c,d\}$ 二元关系 $\mathbf{R}=\{<a,b>,<c,d>,<a,c>,<c,a>\}$ ，则 $\mathbf{R}$ 的对称闭包 $s(\mathbf{R})=$ 【暂无答案】。
设 $\mathbf{Z}$ 为整数集合， $+$ 为普通加法，则代数系统 $<\mathbf{Z},+>$ 上的运算 $2^0=$ 【暂无答案】, $2^{10}=$ 【暂无答案】, $2^{-10}=$ 【暂无答案】。
群 $<\mathbf{Z}_9,\oplus>$ 中， $\mathbf{Z}_8=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$ ，对 $\forall x,y\in\mathbf Z_9$ ，有 $x\oplus y=(x+y)\mod9$ ，则 $2$ 的阶为【暂无答案】， $3$ 的阶为【暂无答案】。

在命题逻辑中，试把原子命题表示为 $p,q,r$ ，将下列命题符号化：

在一阶逻辑中，设个体域为全总个体域，将下列命题符号化：

设 $\mathbf Z$ 为整数集合， $k\in\mathbf Z$ ，二元关系 $\mathbf R=\{<x,y>|x-y=kt,\forall x,\forall y,\forall t\in\mathbf Z\}$ ，证明 $\mathbf R$ 为等价关系。

求生成元为 $a$ 的 15 阶循环群的所有生成元和所有子群。

分别使用真值表法、等值演算法和主析取范式法判断 $((p\lor q)\land(p\rightarrow q))\leftrightarrow(q\rightarrow p)$ 的类型。

设 $A=\{\phi,\{a,b,c,d,e\},\{b,c\},\{a,b,c,d\},\{c,d\},\{b,c,d,e\},\{c\}\}$ ， $R$ 为包含关系（设 $<x,y>\in R$ ，则有 $x\subset y$ ），在偏序集 $<A,R>$ 中分别求：

某工厂有甲类型元件 40 件，乙类型元件 20 件，丙类型元件 10 件，安装上 3 种元件至少一种的产品总数为 55 个，其中有 5 个产品安装了全部 3 种元件，设 A, B, C 分表示甲、乙、丙类型元件集合，试运用包含排斥原理求安装了 2 种元件的产品个数。

使用构造证明法证明：

前提： $\lnot(p\rightarrow q)\rightarrow\lnot(r\lor s),\;(q\rightarrow p)\lor\lnot r,\;r$

结论： $p\leftrightarrow q$

有向图 $D$ 如下图所示，求：