24-25-1-工科数学分析（上）-期末

一 填空题 (本大题共10小题，每小题3分，共30分)

  1. lim⁡x→0sin⁡2x∣x∣arctan⁡1x=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin 2x}{\left|x\right|}\arctan\frac{1}{x}= .

  2. lim⁡x→0+e1x+ae−1xae1x+2e−1x=lim⁡n→∞(nn+1)n\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{\mathrm e^{\frac1x}+a\mathrm e^{-\frac1x}}{a\mathrm e^{\frac1x}+2\mathrm e^{-\frac1x}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac n{n+1}\right)^n, 则常数 a=a= .

  3. 函数 y=xsin⁡2πxy=\sqrt{x\sin^2\pi x} 的连续区间为 .

  4. 已知当 x→0x\rightarrow0 时, (1+2x)x−1∼kx2(1+2x)^x-1\sim kx^2, 则常数 k=k= .

  5. 曲线 y=2ln⁡x+1xy=2\ln x+\frac1x 的拐点是 .

  6. 曲线 y=xe−2xy=x\mathrm e^{-\frac2x} 的斜渐近线方程为 .

  7. 比较大小: 20242025\sqrt{2024}^{\sqrt{2025}} 20252024\sqrt{2025}^{\sqrt{2024}}.

  8. 定积分: ∫−11∣x∣+ln⁡(x+x2+1)1+x2 dx=\int_{-1}^1\frac{|x|+\ln(x+\sqrt{x^2+1})}{1+x^2}\,\mathrm dx= .

  9. 反常积分: ∫e+∞1xln⁡2x dx=\int_{\sqrt{\mathrm e}}^{+\infty}\frac1{x\ln^2x}\,\mathrm dx= .

  10. 微分方程 dydx=yx+y\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac y{x+y} 满足 y(0)=1y(0)=1 的解为 .

二 求极限 (每小题6分, 共12分)

1.

lim⁡n→∞(1n+1n+e1nn+2n+e2nn+3n+⋯+en−1nn+nn)\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac1{n+\frac1n}+\frac{\mathrm e^{\frac1n}}{n+\frac2n}+\frac{\mathrm e^{\frac2n}}{n+\frac3n}+\cdots+\frac{\mathrm e^{\frac{n-1}n}}{n+\frac nn}\right).

答案 / 解析

e−1e-1

2.

lim⁡x→0x−43sin⁡x+16sin⁡2xx(ex2−x2−1)\lim_{x\rightarrow0}\frac{x-\frac43\sin x+\frac16\sin2x}{x\left(\mathrm e^{x^2}-x^2-1\right)}.

三 求导数 (每小题6分, 共12分)

1.

设函数 y=y(x)y=y(x) 由方程 ∫−1ye−t2dt−ln⁡x=0\int_{-1}^y\mathrm e^{-t^2}\mathrm dt-\ln x=0 确定, 求 y′′∣x=1\left.y''\right|_{x=1};

2.

设函数 f(x)=(x−a)3φ(x)f(x)=(x-a)^3\varphi(x), 其中 φ(x)\varphi(x) 在点 aa 的邻域 U(a)U(a) 内具有二阶连续导数, 求 f′′′(a)f'''(a).

四 计算积分 (每小题6分, 共12分)

1.

∫dxx+1−x2\int\frac{\mathrm dx}{x+\sqrt{1-x^2}}.

答案 / 解析

令 x=sin⁡tx=\sin t，则原积分转化为

∫cos⁡t dtsin⁡t+cos⁡t=12∫sin⁡t+cos⁡tsin⁡t+cos⁡t dt+12∫cos⁡t−sin⁡tsin⁡t+cos⁡t dt=12∫dt+12∫d(sin⁡t+cos⁡t)sin⁡t+cos⁡t=t2+12ln⁡∣sin⁡t+cos⁡t∣+C\begin{aligned} &\int\frac{\cos t\,\mathrm dt}{\sin t+\cos t}\\ =&\frac12\int\frac{\sin t+\cos t}{\sin t+\cos t}\,\mathrm dt+\frac12\int\frac{\cos t-\sin t}{\sin t+\cos t}\,\mathrm dt\\ =&\frac12\int\mathrm dt+\frac12\int\frac{\mathrm d(\sin t+\cos t)}{\sin t+\cos t}\\ =&\frac t2+\frac12\ln\left|\sin t+\cos t\right|+C \end{aligned}

2.

设 f(x)=∫1x2t dt1+t3f(x)=\int_1^{x^2}\frac{t\,\mathrm dt}{\sqrt{1+t^3}}，求 ∫02xf(x) dx\int_0^{\sqrt2}xf(x)\,\mathrm dx.

五 (8分)

求函数 y=(x+1)e−arctan⁡xy=(x+1)\mathrm e^{-\arctan x} 的单调区间与极值.

六 (10分)

第6题图

第6题图

曲线 a2y=x2 (0<a<1)a^2y=x^2\,(0<a<1) 将图中边长为 1 的正方形分成 A, BA,\,B 两部分.

1.

当 aa 取何值时, S=SA2+SB2S=S_A^2+S_B^2 取得最小值, 其中 SAS_A 和 SBS_B 分别是 A, BA,\,B 两部分的面积.

2.

当 aa 取何值时, VA=VBV_A=V_B, 其中 VAV_A 和 VBV_B 分别是 AA 绕直线 y=1y=1 旋转一周与 BB 绕 xx 轴旋转一周所得两旋转体的体积.

七 (10分)

求 y′′+y=x2+cos⁡xy''+y=x^2+\cos x 的通解.

八 证明题 (6分)

设 ff 在区间 II 上三阶可导, 对 ∀[a,b]∈I\forall[a,b]\in I, 证明: 存在 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b), 使得 f(b)=f(a)+12(b−a)[f′(a)+f′(b)]−112(b−a)3f′′′(ξ)f(b)=f(a)+\frac12(b-a)[f'(a)+f'(b)]-\frac1{12}(b-a)^3f'''(\xi).