24-25-1-数学分析（上）-期中

一 填空题 (共 30 分, 每小题 5 分)

1. $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{1+2x^{2}} -1 }{1-\cos{x} }=$ 【显示答案】 $2$.

2. $\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{x}\right)\right)^{x}=$ 【显示答案】 $\mathrm{e}^2$.

3. 设 $y(x)=x\mathrm{e}^{2x}$, 则 $y^{(2024)}(x)=$ 【显示答案】 $2^{2024}\cdot\mathrm{e}^{2x}(x+1012)$.

4. 设曲线方程为 $\begin{cases}x(t)=1+t+\sin^{2}{t},\\y(t)=t^{2}+\sin{t}\end{cases}$, 则此曲线在 $x=1$ 处的切线方程为 【显示答案】 $y=x-1$.

5. 当 $x\rightarrow0$ 时, $2x-\sin{2x}$ 是 $x^{a}$ 的同阶无穷小, 则 $a=$ 【显示答案】 3.

6. 设函数 $y(x)=\ln\left(\mathrm{e}^{x}+\sqrt{1+\mathrm{e}^{2x} }\right)$, 则 $\left.\mathrm{d}y\right|_{x=0}=$ 【显示答案】 $\frac 1{\sqrt{2}}\mathrm{d}x$.

二 选择题 (共 30 分, 每小题 5 分)

1. 若 $\lim_{n\rightarrow+\infty}a_{n}=a,\;(a\ne0)$, 则当 $n$ 充分大时, 必有 ( ).

$\left|a_{n}\right|\le a$

$\left|a_{n}\right|\le\left|a\right|$

$a_{n}>\frac{a}{2}$

$\left|a_{n}\right|>\frac{\left|a\right| }{2}$

检查

2. 设函数 $f(x)=\frac{\sin{x} }{1+2^{\frac{1}{x} } }$, $x=0$ 是函数 $f(x)$ 的 ( ).

连续点

可去间断点

跳跃间断点

无穷间断点

检查

3. 求极限 $\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{4+\mathrm{e}^{\frac{1}{x} } }{2+\mathrm{e}^{\frac{2}{x} } }+\frac{\sin{x} }{\left|x\right| }\right)=$ ( ).

$1$

$0$

$3$

不存在

检查

4. 设函数 $f(x)=\begin{cases}\sqrt[3]{x}\sin\frac{1}{x}&,x\ne0,\\0&,x=0\end{cases}$, 下面说法正确的是 ( ).

$f(x)$ 在 $x=0$ 处连续且可导

$f(x)$ 在 $x=0$ 处连续但不可导

$f(x)$ 在 $x=0$ 处不连续但可导

$f(x)$ 在 $x=0$ 处既不连续也不可导

检查

5. 设函数 $y=\left(\tan\frac{\pi x}{4} -1\right)\left(\tan\frac{\pi x^2}{4} -2\right)\cdots\left(\tan\frac{\pi x^{2024} }{4} -2024\right)$. 则 $\left.y'\right|_{x=1}=$ ( ).

$0$

$2024\cdot \frac\pi2$

$-2023!\cdot \frac\pi2$

$2023!\cdot \frac\pi2$

检查

6. 设 $\lim_{x\rightarrow0}\frac{xf(x)}{1-\cos{2x} }=1$, 其中 $f(0)=0$, 则 $f'(0)=$ ( ).

$\frac12$

$1$

$2$

$4$

检查

三 (10 分)

设 $\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{4x^2+2x+3} -ax-b\right)=0$, 试确定 $a,\,b$ 的值.

› 答案 / 解析

由 $\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{4x^2+2x+3} -ax-b\right)=0$

可得 $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{4x^2+2x+3} -ax-b}x=0$,

即 $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{4x^2+2x+3}}x-a=0$.

解得 $a=2$.

于是 $b=\lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt{4x^2+2x+3} -2x$.

对式子有理化后, 可解得 $b=\frac12$.

四 (14 分)

设函数 $y=f(x)$ 由方程 $\mathrm{e}^y+xy=\mathrm{e}$ 所确定, 求 $\left.\mathrm{d}y\right|_{x=0},\,y''(0)$.

› 答案 / 解析

将 $x=0$ 代入方程得 $\mathrm{e}^y=\mathrm{e}$,

即 $y(0)=1$.

对方程两侧求导得到方程 $y'\mathrm{e}^y+y+xy'=0$.

于是 $\left.y'\right|_{x=0}=\left.\frac{-y}{x+\mathrm{e}^y}\right|_{x=0}=-\frac1{\mathrm{e}}$.

› 答案 / 解析

另一种解法是:

对方程两侧求导得 $y''\mathrm{e}^y+y'^2\mathrm{e}^y+2y'+xy''=0$,

即 $y''=-\frac{y'^2\mathrm{e}^y+2y'}{\mathrm{e}^y+x}$.

故 $y''(0)=\frac1{\mathrm{e}^2}$.

五 (8 分)

计算 $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan\left(\frac\pi4+2x\right)-\tan\left(\frac\pi4-2x\right)}{\arctan(1+2x)-\arctan(1-2x)}$.

› 答案 / 解析

由洛必达法则得 $\lim_{x\rightarrow0}\frac{2\sec^2\left(\frac{\pi}{4}+2x\right)+2\sec^2\left(\frac{\pi}{4} -2x\right)}{\frac2{1+(1+2x)^2}+\frac2{1+(1-2x)^2} }=4$.

六 (8 分)

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微, $f(0)=0$, $\forall x\in(0,1), f(x)\ne0$. 试证 $\exists\xi\in(0,1)$ 使得 $2\frac{f'(\xi)}{f(\xi)}=\frac{f'(1-\xi)}{f(1-\xi)}$.

› 答案 / 解析

令 $g(x)=f(1-x)$,

则 $g'(x)=-f'(1-x)$.

于是原式变为 $2\frac{f'(\xi)}{f(\xi)}=-\frac{g'(\xi)}{g(\xi)}$,

即 $2f'(\xi)g(\xi)+f(\xi)g'(\xi)=0$.

两侧同乘 $f(\xi)$ 得 $2f(\xi)f'(\xi)g(\xi)+f^2(\xi)g'(\xi)=0$,

即 $\left[f^2(\xi)g(\xi)\right]'=0$.

《数学分析（上）》的期中试卷

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